курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
Приватний вищий навчальний заклад
Європейський Університет
Уманська філія
Кафедра математики та інформатики
Реферат
з дисципліни «Теория алгоритмів та представлення знань»
на тему: «Тезис Гьоделя. Теорема Черча»
Перевірив: Виконав:
викладач студент 3-го курсу
Бєсєдіна С.В. 36 групи
Оцінка ______ Левицький Е.Г.
Умань – 2005
Зміст
1. TOC o "1-3" h z u Вступ. PAGEREF _Toc119118926 h 3
2.Теорема Черча. Проблема распознавания выводимости алгоритмически неразрешима. PAGEREF _Toc119118927 h 4
3. Проблема распознавания самоприменимости алгоритмически неразрешима. PAGEREF _Toc119118928 h 5
4. Проблема эквивалентности слов в любом ассоциативном исчислении алгоритмически неразрешима. PAGEREF _Toc119118929 h 6
5.Примеры теорий первого порядка. PAGEREF _Toc119118930 h 8
6.Теорема Геделя о неполноте. PAGEREF _Toc119118931 h 9
7.Список використаних джерел. 15
Введение понятия машины Тьюринга уточняет понятие алгоритма и указывает путь решения какой-то массовой проблемы. Однако машина Тьюринга бывает неприменима к начальной информации (исходному слову алфавита). Та же ситуация повторяется относительно некоторых задач, для решения которых не удается создать машины Тьюринга. Один из первых результатов такого типа получен Черчем в 1936 году. Он касается проблемы распознавания выводимости в математической логике.
1). Аксиоматический метод в математике заключается в том, что все теоремы данной теории получаются посредством формально-логического вывода из нескольких аксиом, принимаемых в данной теории без доказательств. Например, в математической логике описывается специальный язык формул, позволяющий любое предложение математической теории записать в виде вполне определенной формулы, а процесс логического вывода из посылки следствия может быть описан в виде процесса формальных преобразований исходной формулы. Это достигается путем использования логического исчисления, в котором указана система допустимых преобразований, изображающих элементарные акты логического умозаключения, из которых складывается любой , сколь угодно сложный формально-логический вывод.
Вопрос о логической выводимости следствия из посылки является вопросом о существовании дедуктивной цепочки, ведущей от формулы к формуле возникает проблема распознавания выводимости: существует ли для двух формул и дедуктивная цепочка, ведущая от к или нет. Решение этой проблемы понимается в смысле вопроса о существовании алгоритма, дающего ответ при любых и
Проблема распознавания самоприменимости. Это вторая проблема, положительное решение которой не найдено до сих пор. Ее суть заключается в следующем. Программу машины Тьюринга можно закодировать каким-либо определенным шифром. На ленте машины можно изобразить ее же собственный шифр, записанный в алфавите машины. Здесь как и в случае обычной программы возможны два случая:
1. машина применима к своему шифру, то есть она перерабатывает этот шифр и после конечного числа тактов останавливается;
2. машина неприменима к своему шифру, то есть машина никогда не переходит в стоп - состояние.
Таким образом, сами машины (или их шифры) разбиваются на два класса: класс самоприменимых и класс несамоприменимых тьюринговых машин. Проблема заключается в следующем как по любому заданному шрифту установить к какому классу относится машина, зашифрованная им: к классу самоприменимых или несамоприменимых.
3). Проблема эквивалентности слов для ассоциативных исчислений.
Рассмотрим некоторый алфавит и множество слов в этом алфавите. Будем рассматривать преобразования одних слов в другие с помощью некоторых допустимых подстановок , где и два слова в том же алфавите Если слово содержит как подслово, например
Ассоциативным исчислением называется совокупность всех слов в некотором алфавите вместе с какой-нибудь конечной системой допустимых подстановок. Для задания ассоциативного исчисления достаточно задать соответствующий алфавит и систему подстановок.
Если слово может быть преобразовано в слово путем однократного применения определенной подстановки, то и называются смежными словами. Последовательность слов таких, что каждая пара слов являются смежными, называется дедуктивной цепочкой, ведущей от слова к слову к слову и называются эквивалентными:
Для каждого ассоциативного исчисления возникает своя специальная проблема эквивалентности слов: для любых двух слов в данном исчислении требуется узнать эквивалентны они или нет.
Эта проблема решена лишь в некоторых ассоциативных исчислениях специального вида.
Математические теории.
Аксиоматические теории делятся на формальные и неформальные. Неформальные аксиоматические теории наполнены теоретико – множественным содержанием, понятие выводимости в них довольно расплывчато и в значительной степени опирается на здравый смысл.
Формальная аксиоматическая теория считается определенной, если выполнены следующие условия:
1. задан язык теории;
2. определено понятие формулы в этой теории;
3. выделено множество аксиом теории;
4. определены правила вывода в этой теории.
Среди математических теорий выделяются теории первого порядка. Эти теории не допускают в своем изложении предикаты, которые имеют в качестве аргументов другие предикаты и функции. Кроме того, не допускаются кванторные операции по предикатам и функциям. Теории первого порядка называются еще элементарными теориями.
1). Язык теории первого порядка. Рассмотрим некоторый алфавит теории Множество слов этого алфавита называется множеством выражений теории Пару и множества выражений, называют языком теории.
В алфавит всякой теории первого порядка входят:
1) символы логических операций
2) символы кванторных операций
3) вспомогательные символы – скобки и запятые;
4) конечное или счетное множество
5) конечное или счетное множество функциональных букв;
6) конечное или счетное множество предметных констант.
В частности под функциональной буквой может пониматься цепочка логических операций.
Множество предикатных букв вместе с множеством функциональных букв и констант называется сигнатурой языка данной теории.
Различные теории первого порядка могут отличаться друг от друга по составу букв в алфавите.
Термы и формулы.
В любой теории важное значение имеет определение терма и формулы. Фактически это два класса слов множества.
Термом называется: а). предметная переменная и переменная константа;
Таким образом, кроме предметных переменных и констант термами являются цепочки, образованные из предметных переменных и констант посредством символов операций.
1). Геометрия (теория равенства отрезков).
Логические аксиомы этой теории те же пять, что упомянутые выше. Первичные термины - множество всех отрезков и = - отношение равенства.
2). Аксиоматическая теория натуральных чисел.
Аксиоматическое построение арифметики натуральных чисел связано с именами Пеано и Дедекинда. Язык теории содержит константу 0, числовые переменные, символ равенства, функциональные символы +, . , с помощью функциональных символов. В частности натуральные числа изображаются термами вида 0.
Элементарные формулы в этой теории – это равенства термов, остальные формулы получаются из элементарных с помощью логических связок. Вводится одна предикатная буква и три функциональных буквы.
- отношение равенства, - отношение следования (прибавление единицы), - операция суммы, - операция произведения. В качестве специальных аксиом теории натуральных чисел берутся следующие аксиомы:
где - произвольная формула теории натуральных чисел. Девятая аксиома называется принципом математической индукции. Аксиомы 1-2 обеспечивают очевидные свойства равенства, аксиомы 5-8 уточняют свойства операций сложения и умножения.
Для произвольных теорий первого порядка теорема дедукции, доказанная нами в исчислении высказываний, требует изменения. В первоначальном виде, причем никаких ограничений на предметные переменные, входящие в, не накладывалось. Для справедливости теоремы дедукции для произвольных теорий первого порядка необходимо ее изменить следующим образом.
Теорема Геделя о неполноте. В любой непротиворечивой формальной системе, содержащей минимум арифметики, а, следовательно, и в теории натуральных чисел, найдется формально неразрешимое суждение, то есть такая замкнутая формула не являются выводимыми в системе.
Пусть у нас
есть некая формальная система T,
т.е. некий набор аксиом, из которых мы, пользуясь фиксированных набором
правил перехода и общелогических аксиом, можем доказывать какие-нибудь теоремы.
Поставим несколько условий: пусть, во-первых, наша система T
будет сформулирована на языке
арифметики. Это значит, что формулы аксиом и теорем в T,
кроме общелогических символов (таких, как переменные, скобки, ∧
"и", ¬ "не-" и прочие логические операции, знак равенства
=, а также кванторы существования ∃ и всеобщности ∀) могут
содержать такие символы, как 0 (константа), + (бинарная
операция), * (ещё одна операция), < (отношение "меньше,
чем"), S(x) (функция, обозначающая
"следующий за x элемент", т.е. x+1). Во-вторых, пусть
система T будет достаточно мощной, что в нашем
случае значит, что она умеет доказывать некоторые достаточно простые формулы
отношений между натуральными числами (подробности я опускаю). Например, если мы
не внесём вообще никаких аксиом в T, то она ничего
нетривиального не сможет доказать, т.е. будет недостаточно мощной и теорема
Гёделя к ней относиться не будет. Но любой достаточно полный список аксиом
арифметики (например, перечисляющий обычные тривиальные свойства операций
умножения и сложения, отношения < и функции S(x)) оказывается достаточно
мощным для наших целей. В-третьих, система T должна быть в некотором
техническом смысле "легко описываемой" — в ней должно быть либо конечное
количество аксиом, либо бесконечное, но описываемое с помощью какого-то заранее
известного алгоритма. Любую формальную систему, отвечающую этим трём условиям,
назовём подходящей (это не стандартная терминология, просто для удобства
только в этой записи).
С точки зрения формальных доказательств
система T не имеет "семантики", иными словами, смысл используемых в ней символов нам
безразличен. Формальное доказательство есть всего лишь некоторая длинная
цепочка строк, в которой каждая строка есть аксиома T, общелогическая аксиома,
или получена из предыдущих строк применением одного из разрешённых правил
перехода. Мы обозначили, скажем, одну из операций языка арифметики символом *,
потому что она соответствует нашему пониманию умножения; но с точки зрения формальной
системы T * — всего лишь символ, который ничего не
означает. Вместо него мог быть любой другой символ, скажем, %, и все
доказательства оставались бы в силе; просто если бы мы захотели определить смысл
аксиом или доказываемых нами теорем, нам пришлось бы понимать % как
"умножение".
Сказать, что какое-то утверждение доказуемо в T — значит сказать, что есть некоторое формальное доказательство, которое к нему приводит. Доказуемость — синтаксическое свойство, а не семантическое. С другой стороны, сказать, что какое-то утверждение истинно — значит, сказать, что если мы интерпретируем его согласно обычной интерпретации символов T (т.е. * будем понимать как "умножение", символ 0 — как число 0, итп.), то получаем истинное утверждение о натуральных числах.
Доказуемость
необязательно влечёт истинность. Предположим для простоты, что для каждого
натурального числа n в нашем языке есть константа n,
позволяющая "говорить" о числе n в формулах нашего языка
(на практике мы можем "симулировать" такие константы, не объявляя их,
с помощью цепочки терминов: 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))) итп.). Теперь возьмём
формальную систему T, в которой есть следующая аксиома: 2+2=5.
Тогда утверждение
"2+2=5" доказуемо в системе T (т.к. оно даже является
аксиомой), но, естественно, ложно (является ложным утверждением о
натуральных числах).
Есть формальные системы, которые доказывают только истинные утверждения.
Таковы системы, в которых все аксиомы — истинные утверждения (можно доказать,
что тогда все правила перехода между аксиомами сохраняют истинность). Такие
формальные системы называются корректными.
Формальная система называется консистентной,
если она не может доказать одновременно какое-то утверждение и его отрицание,
т.е. доказать противоречие.
Неконсистентная формальная система — это плохо и практически бесполезно, т.к.
можно легко показать, что из доказательства противоречия можно получить
доказательство чего угодно. Неконсистентная формальная система
доказывает вообще любое утверждение, так что ничего интересного в ней нет.
Если система корректна, то она
автоматически консистентна: ведь
она доказывает только истинные
утверждения, а какое-то утверждение и его отрицание не могут одновременно быть
истинными: одно из них будет истинным, а другое ложным. Заметим, однако — это
важно! — что "консистентность", как и "доказуемость" есть
свойство синтаксическое, не зависящее от смысла формул и их
интерпретации; а вот корректность системы есть свойство семантическое, требующее
понятия "истинности".
Наконец, формальная система называется полной, если для любого
утверждения φ она может доказать либо φ, либо ¬φ
("не-φ"). Доказательство ¬φ называется также
опровержением φ ; таким образом, полная система может либо
доказать, либо опровергнуть любою утверждение. В некотором смысле она "на
все вопросы даёт ответ". Что ни скажешь про натуральные числа — она сможет
либо доказать это, либо опровергнуть. Это свойство полноты – тоже синтаксическое, не пользующееся понятием
"истинности".
Теперь мы можем определить три формулировки теоремы Гёделя о
неполноте следующим образом:
1. Пусть T — "подходящая" (см. выше) формальная
система, и предположим также, что T — корректная
система. Тогда множество утверждений, которые T может доказать, и
множество истинных утверждений не совпадают (а так как все доказуемые с
помощью T утверждения истинны, отсюда сразу следует, что есть
истинные утверждения, недоказуемые
в T).
2. Пусть T — "подходящая"
формальная система, и предположим опять, что T корректна. Тогда мы можем построить конкретное утверждение G (называемое
"гёделевым утверждением"), обладающее следующим свойством: G истинно, но недоказуемо в T.
3. Пусть T — "подходящая"
формальная система, и предположим, что T консистентна. Тогда T не
является полной системой, т.е.
существует утверждение G такое, что T не
может его ни доказать, ни опровергнуть; более того, мы можем построить такое
конкретное G (называемое "гёделевым утверждением").
Неполнота системы T утверждается в качестве
результата только в третьей версии, но легко видеть, что она сразу следует из
заключения и в первых двух версиях. В них мы заключаем, что существует какое-то
истинное, но недоказуемое утверждение. Такое утверждение T не
доказывает, но и опровергнуть его — доказать его отрицание — она не может, т.к.
его отрицание ложно, а T (в первых двух вариантах
теоремы) корректна и доказывает только истинные утверждения. Поэтому T не
может ни доказать, ни опровергнуть такое утверждение G и, следовательно, T
неполна.
Но вот что действительно отличает первые две версии от третьей:
условие теоремы. В первых двух версиях от системы T требуется быть
корректной; в третьей версии она должна быть всего лишь консистентной — намного более слабое требование. Есть
бесчисленное количество консистентных, но некорректных систем. Ещё более важен
тот факт, что и в условии, и в заключении
третьей версии теоремы используются только синтаксические понятия, не
требующие понятия "истинности", не требующие семантики. Третья версия
теоремы и есть та, которую первоначально доказал Гёдель в начале 30-х годов
прошлого века.
если быть совсем точным, формулировка Гёделя включала дополнительное
синтаксическое условие для теории T, называющееся w-консистентностью
(произносится "омега-консистентность"). Однако через пять лет после
публикации статьи Гёделя Россер доказал, что от этого условия можно избавиться
и достаточно одной консистентности)
То, что в самой сильной и общей своей формулировке теорема Гёделя не
накладывает на T никаких существенных семантических
условий, и заключение её тоже вполне синтаксично — это очень важно понять.
Важно не только и не столько потому, что иногда мы хотим применить теорему
Гёделя к некорректным системам, хоть и это тоже верно. Важно в основном по
следующим двум причинам.
Во-первых, первая теорема о неполноте Гёделя используется в доказательстве второй
теоремы о неполноте Гёделя, которая доказывает, что "подходящая" (в
несколько другом, но схожем с описанным выше, смысле) формальная система T не
может доказать собственную консистентность, если она консистентна (если она
неконсистентна, то она может доказать всё что угодно, включая собственную
консистентность, как ни парадоксально это звучит). Я не буду вдаваться в
подробности, но замечу лишь, что в процессе доказательства второй теоремы о
неполноте необходимо показать, что доказательство первой теоремы о
неполноте можно формализовать внутри системы T. Иными словами, не
просто "если T консистента, то она неполна" (третья версия
первой теоремы о неполноте, см. выше), но также это утверждение (точнее, его
арифметический аналог) можно доказать в самой системе T.
Но в то время, как можно формализовать "внутри" системы T
такие понятия, как "формальная система", "консистентность"
и "полнота", оказывается, что понятие "истинности"
формализовать внутри T невозможно в принципе. Поэтому первый и второй
варианты теоремы Гёделя, хоть они и более просты для доказательства, не могут
быть использованы для доказательства второй теоремы Гёделя.
Во-вторых, теорема Гёделя о неполноте применима не только к формальным системам, сформулированным в языке арифметики (т.е. говорящим о натуральных числах), но также к бесчисленному множеству других формальных систем, от которых требуется только, чтобы они были "подходящими" в нужном техническом смысле; главное требование здесь — чтобы они были не менее мощными, чем теория T в языке арифметики, для которой мы собственно доказываем теорему Гёделя, а это требование обеспечивается возможностью интерпретировать T в такой новой теории. Например, формальная система ZFC, используемая для формализации теории множеств, а вместе с ней и практически всей современной математики, намного более мощна, чем какая-нибудь простенькая арифметическая T, для которой мы доказали теорему Гёделя этот факт можно строго описать (предъявив интерпретацию, т.е. способ перевести утверждения из языка T в утверждения языка ZFC, и показав, что ZFC тогда доказывает "перевод" всех аксиом T) и из него тогда будет следовать, что и ZFC тоже неполна, т.е. в ней тоже есть какое-то гёделево утверждение G, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Проблема, однако, в том, что в отличие от арифметических формальных систем, для утверждений которых у нас всегда есть удобный и обычный способ определить их истинность (посмотреть на то, верны ли они как утверждения о натуральных числах), для других формальных систем, таких, скажем, как ZFC, понятие истинности вообще не определено или определено очень плохо. Для них первая и вторая версии теоремы Гёделя оказываются неподходящими именно потому, что эти версии опираются на корректность данной системы и на существование определённого понятия истинности утверждений. Подходит только третья, чисто синтаксическая версия.
1. www.intuit.ru
2. www.proza.ru
3. www.referat.ru
Приватний вищий навчальний заклад Європейський Університет Уманська філія Кафедра математики та інформатики Реферат з дисципліни «Теория алгоритмів та представлення знань» на тему: «Тезис Гьоделя. Теорема Черча» П
Роль математики в современном естествознании
Описанные и вписанные окружности
Правильные многогранники
Математическое моделирование
Исследование элементарных функций
Общая характеристика аксиоматики Гильберта
Пропись цифр. Методика прописи цифр
Петер Дирихле
Теория неявных функций и ее приложения
Движение
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.