Áàçà çíàíèé ñòóäåíòà. Ðåôåðàò, êóðñîâàÿ, êîíòðîëüíàÿ, äèïëîì íà çàêàç

êóðñîâûå,êîíòðîëüíûå,äèïëîìû,ðåôåðàòû

Èçìåðèìûå ôóíêöèè — Ìàòåìàòèêà

Îïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà èçìåðèìîé ôóíêöèè

Åñëè êàæäîìó x èç ìíîæåñòâà E ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå ÷èñëî f(x), òî ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íà ìíîæåñòâå E çàäàíà ôóíêöèÿ f(x). Ïðè ýòîì ìû äîïóñêàåì è áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè, ëèøü áû îíè èìåëè îïðåäåëåííûé çíàê, ò.å. ââîäèì «íåñîáñòâåííûå» ÷èñëà - è +. Ýòè ÷èñëà ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé è ñ ëþáûì êîíå÷íûì ÷èñëîì a íåðàâåíñòâàìè

                                                    -<a<+,

è ìû óñòàíàâëèâàåì äëÿ íèõ ñëåäóþùèå çàêîíû äåéñòâèé:

+±a=+,     ++(+)=+,      +-(-)=+,

-±a=-,       -+(-)=-,          --(+)=-,

½+½=½-½=+,        +×a=a×(+)=+,

    -×a=a×(-)=-,   åñëè a>0,

+×a=a×(+)=-,

-×a=a×(-)=+,   åñëè a<0

0×(±)=(±)×0=0,

(+)×(+)=(-)×(-)=+,

(+)×(-)=(-)×(+)=-,

=0.

Çäåñü a îáîçíà÷àåò âåùåñòâåííîå êîíå÷íîå ÷èñëî. Ñèìâîëû

+¥-(+¥),    -¥-(-¥),     +¥+(-¥),        -¥+(+¥).

,

ìû ñ÷èòàåì ëèøåííûìè ñìûñëà.

Èìåÿ äåëî ñ ôóíêöèåé f (x), çàäàííîé íà ìíîæåñòâå E, ìû áóäåì ñèìâîëîì

E(f>a)

îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî òåõ x èç ìíîæåñòâà Å, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî f(x)>à.

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ââîäÿòñÿ ñèìâîëû

Å(f³à),   Å(f=à),    Å(f£à),    Å(à<f£b)

è ò.ï. Åñëè ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì çàäàíà ôóíêöèÿ f(x), îáîçíà÷åíî êàêîé-ëèáî äðóãîé áóêâîé, íàïðèìåð À èëè Â, òî ìû ñîîòâåòñòâåííî áóäåì ïèñàòü

À(f>à),         Â(f>à)

è ò.ï.

Îïðåäåëåíèå 1. Ôóíêöèÿ f(x), çàäàííàÿ íà ìíîæåñòâî Å, íàçûâàåòñÿ èçìåðèìîé, åñëè èçìåðèìî ýòî ìíîæåñòâî Å è åñëè ïðè ëþáîì êîíå÷íîì à èçìåðèìî ìíîæåñòâî

Å(f>à).

 ñâÿçè ñ òåì, ÷òî çäåñü  ðå÷ü èäåò î ìíîæåñòâàõ, èçìåðèìûõ â ñìûñëå Ëåáåãà, ÷àñòî (æåëàÿ ïîä÷åðêíóòü èìåííî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî) ãîâîðÿò îá èçìåðèìîé (L) ôóíêöèè. Åñëè æå Å è âñå ìíîæåñòâà Å(f>à) èçìåðèìû (Â), òî è f(x) íàçûâàåòñÿ èçìåðèìîé (Â) ôóíêöèåé.

Òåîðåìà 1. Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà ìíîæåñòâå ìåðû íóëü, èçìåðèìà.

Ýòî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.

Òåîðåìà 2. Ïóñòü f(x) åñòü èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà ìíîæåñòâå Å. Åñëè À åñòü èçìåðèìîå ïîäìíîæåñòâî Å, òî f(x), ðàññìàòðèâàåìàÿ òîëüêî äëÿ xÎÀ, èçìåðèìà.

Äåéñòâèòåëüíî, À(f>à) =À×Å (f>à).

Òåîðåìà 3. Ïóñòü f(x) çàäàíà íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå Å, ïðåäñòàâèìîì â ôîðìå ñóììû êîíå÷íîãî ÷èñëà èëè ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ Åk :

                                 E=×

Åñëè f(x) èçìåðèìà íà êàæäîì èç ìíîæåñòâ ER., òî îíà èçìåðèìà è íà Å.

 ñàìîì äåëå, E(f>a)= .

Îïðåäåëåíèå 2. Äâå ôóíêöèè f(x) è g(x), çàäàííûå íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå Å, íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè

mE (f¹g)=0

Îáîçíà÷àòü ýêâèâàëåíòíîñòü ôóíêöèé f(x) è g(x) ïðèíÿòî òàê: 

f (x) ~g(x).

Îïðåäåëåíèå 3. Ïóñòü íåêîòîðîå îáñòîÿòåëüñòâî S èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ òî÷åê êàêîãî-íèáóäü ìíîæåñòâà Å, êðîìå òî÷åê, âõîäÿùèõ â ïîäìíîæåñòâî Å0 ìíîæåñòâà Å. Åñëè mÅ= 0, òî ãîâîðÿò, ÷òî S èìååò ìåñòî ïî÷òè âåçäå íà ìíîæåñòâå Å, èëè ïî÷òè äëÿ âñåõ òî÷åê Å.

 ÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâî èñêëþ÷èòåëüíûõ òî÷åê Åìîæåò áûòü è ïóñòûì.

Òåïåðü ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî äâå ôóíêöèè, çàäàííûå íà ìíîæåñòâå Å, ýêâèâàëåíòû, åñëè îíè ðîâíû ïî÷òè âåçäå íà Å.

Òåîðåìà 4. Åñëè f(õ) åñòü èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà ìíîæåñòâå Å, à g(x) ~ f(x), òî g(x) òàêæå èçìåðèìà.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü À = Å (f ¹ g), B = E – A. Òîãäà mA = 0, òàê ÷òî  èçìåðèìî. Çíà÷èò ôóíêöèÿ f(x) èçìåðèìà íà ìíîæåñòâå Â. Íî íà ìíîæåñòâå  ôóíêöèè f(x) è g(x) íåîòëè÷èìû, òàê ÷òî g(x) èçìåðèìà íà Â. Ïîñêîëüêó g(x) èçìåðèìà è íà À (èáî mA = 0), îíà èçìåðèìà íà Å = À + Â.

  Òåîðåìà 5. Åñëè äëÿ âñåõ òî÷åê èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà Å áóäåò f(x) = c, òî ôóíêöèÿ f(x) èçìåðèìà.

Äåéñòâèòåëüíî,

E (f > a) =       

Çàìåòèì, ÷òî â ýòîé òåîðåìå ñ ìîæåò áûòü è áåñêîíå÷íûì.

Ôóíêöèÿ f(x), çàäàííàÿ íà ñåãìåíòå [à, b], íàçûâàåòñÿ ñòóïåí÷àòîé, åñëè [à,b] ðàçëîæèòü òî÷êàìè.

ñ0 = à< ñ12<…<ñn = b

íà êîíå÷íîå ÷èñëî ÷àñòåé,  â í ó ò ð è  êîòîðûõ (ò.å. â èíòåðâàëàõ (ñk, ck + 1) ïðè k = 0, 1, …., n –1) ôóíêöèÿ f(x) ïîñòîÿííà. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî èç òåîðåìû 5 âûòåêàåò

Ñëåäñòâèå. Ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìà.

Òåîðåìà 6. Åñëè f(x) åñòü èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ  íà ìíîæåñòâå Å, òî ïðè ëþáîì à èçìåðèìû ìíîæåñòâà

E (f ³ a),   E (f = a),    E (f £ a),   E (f < a),

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî

E (f ³ a) =

îòêóäà ñëåäóåò èçìåðèìîñòü ìíîæåñòâà E (f ³ a). Èçìåðèìîñòü ïðî÷èõ ìíîæåñòâ âûòåêàåò èç ñîîòíîøåíèé:

E (f = a) = E(f ³ a) – E(f > a),     E(f £ a) = E – E(f > a),

E (f < a) = E – E (f ³ a).

Çàìå÷àíèå.  Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè õîòü îäíî èç ìíîæåñòâ

E (f ³ a),  E (f £ a),  E (f < a)

îêàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì ïðè âñÿêîì  à, òî ôóíêöèÿ f(x) èçìåðèìà íà ìíîæåñòâå Å (êîòîðîå òàêæå ïðåäïîëàãàåòñÿ èçìåðèìûì).

Äåéñòâèòåëüíî, òîæäåñòâî ) ïîêàçûâàåò, íàïðèìåð, ÷òî f(x) èçìåðèìà, åñëè èçìåðèìû âñå ìíîæåñòâà Å (f³à). Ñõîäíûì îáðàçîì óñòàíàâëèâàþòñÿ è îñòàëüíûå óòâåðæäåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, â îïðåäåëåíèè èçìåðèìîé ôóíêöèè ìîæíî çàìåíèòü ìíîæåñòâî  Å (f>a) ëþáûì èç ìíîæåñòâ (1).

Òåîðåìà 7.  Åñëè ôóíêöèÿ f(x), çàäàííàÿ íà ìíîæåñòâå Å, èçìåðèìà, à k êîíå÷íîå ÷èñëî, òî èçìåðèìû è ôóíêöèè 1) f(x) + k, 2) kf(x), 3) çf (x)ç, 4) f2 (x), è åñëè f(x) ¹0, òî èçìåðèìà è ôóíêöèÿ 5) .

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1) Èçìåðèìîñòü ôóíêöèè f(x) + k âûòåêàåò èç ñîîòíîøåíèÿ Å (f+ k >a) = E (f>a- k).

2) Èçìåðèìîñòü ôóíêöèè kf(x) ïðè k =0 ñëåäóåò èç òåîðåìû 5. Äëÿ ïðî÷èõ k  èçìåðèìîñòü ñëåäóåò èç î÷åâèäíûõ ñîîòíîøåíèé

3) Ôóíêöèÿ çf(x) ç èçìåðèìà ïîòîìó, ÷òî

4) Àíàëîãè÷íî, èç òîãî , ÷òî

E (f2 > a) =

âûòåêàåò èçìåðèìîñòü ôóíêöèè f 2 (x).

5) Íàêîíåö, ïðè f(x) ¹ 0 èìååì

> a) =

îòêóäà è ñëåäóåò èçìåðèìîñòü .

Òåîðåìà 8. Ôóíêöèÿ f(x), çàäàííàÿ è íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå Å=, èçìåðèìà.

 Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðåæäå âñåãî óñòàíîâèì, ÷òî ìíîæåñòâî

F = E (f£ a)

çàìêíóòî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x0 åñòü ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ýòîãî ìíîæåñòâà è xn®x0   (x n  ÎF ), òî f(xn) £a  è, â ñèëó íåïðåðûâíîñòè f(x), áóäåò  f(x0 ) £a,  ò.å. x0 ÎF, ÷òî è óñòàíàâëèâàåò çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà F.

Íî òîãäà ìíîæåñòâî Å (f>à) = Å – Å(f£à) èçìåðèìî, è òåîðåìà äîêàçàíà.

Èç ñàìîãî îïðåäåëåíèÿ èçìåðèìîé ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà íåèçìåðèìîì ìíîæåñòâå, íåèçìåðèìà.

Îäíàêî ëåãêî îáíàðóæèòü ñóùåñòâîâàíèå íåèçìåðèìîé ôóíêöèè, çàäàííîé íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå.

Îïðåäåëåíèå 4.  Ïóñòü Ì åñòü ïîäìíîæåñòâî ñåãìåíòà Å = [À, Â]. Ôóíêöèÿ jì (õ), ðàâíàÿ åäèíèöå íà ìíîæåñòâå Ì è íóëþ íà ìíîæåñòâå Å–Ì, íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ìíîæåñòâà Ì.

Òåîðåìà 9.  Ìíîæåñòâî Ì è åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ jì îäíîâðåìåííî èçìåðèìû èëè íåò.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.  Åñëè ôóíêöèÿ jM (õ) èçìåðèìà, òî èçìåðèìîñòü ìíîæåñòâà Ì âûòåêàåò èç ñîîòíîøåíèÿ

Ì = Å (jì > 0).

Îáðàòíî, åñëè Ì åñòü èçìåðèìîå ìíîæåñòâî, òî ñîîòíîøåíèÿ

óñòàíàâëèâàþò èçìåðèìîñòü ôóíêöèè jÌ (õ).

Îòñþäà, ìåæäó ïðî÷èì, âåñüìà ïðîñòî ïîëó÷àþòñÿ ïðèìåðû ðàçðûâíûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé.

Äàëüíåéøèå ñâîéñòâà èçìåðèìûõ ôóíêöèé

 

Ëåììà.  Åñëè íà ìíîæåñòâå Å çàäàíû äâå èçìåðèìûå ôóíêöèè f(õ) è g(õ), òî ìíîæåñòâî Å (f >g) èçìåðèìî.

Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìû ïåðåíóìåðóåì âñå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà r1, r2, r3, …, òî ëåãêî ïðîâåðèì ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîøåíèÿ

Å (f > g) =   Å (f > rk) Å (g < rk),

îòêóäà è ñëåäóåò ëåììà.

Òåîðåìà 1.  Ïóñòü f(õ) è g(õ) ñóòü êîíå÷íûå èçìåðèìûå ôóíêöèè, çàäàííûå íà ìíîæåñòâå Å. Òîãäà èçìåðèìà êàæäàÿ èç ôóíêöèé 1) f(õ) – g(õ),  2) f(õ) + g (õ),  3) f(õ) . g(õ), è åñëè g(õ) ¹ 0, òî èçìåðèìà òàêæå ôóíêöèÿ 4).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.  1) Ôóíêöèÿ à + g(õ) èçìåðèìà ïðè ëþáîì à. Çíà÷èò (íà îñíîâàíèè ëåììû), ìíîæåñòâî Å (f > à+g ), à òàê êàê E(f-g>a)=E(f>a+g), òî èçìåðèìà ôóíêöèÿ f (õ) – g(õ).

2) Èçìåðèìîñòü ñóììû f(õ) + g(õ) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî

f(õ) + g(õ) = f(õ) – [ - g (õ)].

3) Èçìåðèìîñòü ïðîèçâåäåíèÿ f(x) .g(x) âûòåêàåò èç òîæäåñòâà

f(x) .g(x)={[f(x)+g(x)]-[f(x)-g(x)]}

è òåîðåìû 7

4) Íàêîíåö, èçìåðèìîñòü ÷àñòíîãî  åñòü ñëåäñòâèå òîæäåñòâà

=f(x) ·.

Ýòà òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî äåéñòâèÿ àðèôìåòèêè, áóäó÷è ïðèìåíåíû ê èçìåðèìûì ôóíêöèÿì, íå âûâîäÿò íàñ çà ïðåäåëû ýòîãî êëàññà ôóíêöèé. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò ñõîäíûé ðåçóëüòàò îòíîñèòåëüíî óæå íå àðèôìåòè÷åñêîé îïåðàöèè – ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà.

Òåîðåìà 2. Ïóñòü íà ìíîæåñòâå Å çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ ôóíêöèé f1(x), f2(x), … Åñëè â êàæäîé òî÷êå õÅ ñóùåñòâóåò (êîíå÷íûé èëè áåñêîíå÷íûé) ïðåäåë

F(x)=fn(x),

òî ôóíêöèÿ F(õ) èçìåðèìà.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíûå  à  è ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ìíîæåñòâà

À=Å(f> a + ),       Â=.

Ýòè ìíîæåñòâà, î÷åâèäíî, èçìåðèìû, è äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî

E(F>a) = .

Çàéìåìñÿ æå ïðîâåðêîé ýòîãî òîæäåñòâà.

Ïóñòü õÅ (F>a), òîãäà F (x0) > a, è íàéäåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå m, ÷òî F(x0) > a + 1/m. Ïîñêîëüêó æå fk (x)  F (x0), òî íàéäåòñÿ òàêîå n, ÷òî ïðè kn áóäåò

fk(x0) > a + .

Èíà÷å ãîâîðÿ, õ0  À ïðè âñåõ kn, à òîãäà õ0  Â è òåì áîëåå õ0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Å (F > a) .

Òåïåðü îñòàåòñÿ óñòàíîâèòü îáðàòíîå âêëþ÷åíèå

 E (F > a),

è òåîðåìà áóäåò äîêàçàíà.

 Ïóñòü õ0. Òîãäà õ0  Âïðè íåêîòîðûõ ôèêñèðîâàííûõ n è m. Ýòî çíà÷èò, ÷òî õ0  À äëÿ kn. Èíà÷å ãîâîðÿ äëÿ kn áóäåò fk(x0) > a+1/m.

Óñòðåìëÿÿ k ê áåñêîíå÷íîñòè è ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó, ïîëó÷èì, ÷òî F(x0)>a, ò.å. x0 ÎE (F>a). Ýòèì è äîêàçàíî âêëþ÷åíèå (*). Äîêàçàííàÿ òåîðåìà äîïóñêàåò ñëåäóþùåå îáîáùåíèå.

Òåîðåìà 3. Ïóñòü íà ìíîæåñòâå E çàäàíû èçìåðèìûå ôóíêöèè f1(x), f2(x), … è íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ F(x). Åñëè ñîîòíîøåíèå

                           (a)

âûïîëíÿåòñÿ ïî÷òè âåçäå íà Å, òî F(x) èçìåðèìà.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì ÷åðåç À ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê X Î Å, â êîòîðûõ ñîîòíîøåíèå (a) íå èìååò ìåñòà (â ýòèõ òî÷êàõ ïðåäåëà  ìîæåò âîâñå íå ñóùåñòâîâàòü). Ïî óñëîâèþ, mA=0 è F(x) èçìåðèìà íà ìíîæåñòâå À. Ïî òåîðåìå 2 îíà èçìåðèìà è íà ìíîæåñòâå Å – À, à òîãäà îíà èçìåðèìà è íà âñåì ìíîæåñòâå Å.

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ ôóíêöèé. Ñõîäèìîñòü ïî ìåðå.

 ýòîì ìåñòå íàì ïðèäåòñÿ ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâà âèäà Å (|f – g| ³ s), Å (|f – g| < s), ãäå f(x) è g(x) ñóòü ôóíêöèè çàäàííûå íå ìíîæåñòâå Å, à s íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ïðè ýòîì òî÷êè, â êîòîðûõ îáå ôóíêöèè f(x) è g(x) ïðèíèìàþò áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ îäíîãî çíàêà, ñòðîãî ãîâîðÿ, íå âõîäÿò íè â îäíî èç ýòèõ ìíîæåñòâ, ïîñêîëüêó â ýòèõ òî÷êàõ ðàçíîñòü f(x) – g(x) ëèøåíà ñìûñëà. Òàê êàê óêàçàííîå îáñòîÿòåëüñòâî ïðåäñòàâëÿåò èçâåñòíûå íåóäîáñòâà, òî ìû ðàç è íàâñåãäà óñëîâèìñÿ ýòè òî÷êè îòíîñèòü ê ìíîæåñòâó Å (|f – g| ³ s). Ïðè òàêîì ñîãëàøåíèè î÷åâèäíî

Å = Å (|f – g| ³ s) + Å (|f – g| < s)

è ñëàãàåìûå ïðàâîé ÷àñòè íå ïåðåñåêàþòñÿ.

Òåîðåìà 1 (À. Ëåáåã). Ïóñòü íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå Å çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü  èçìåðèìûõ è ïî÷òè âåçäå êîíå÷íûõ ôóíêöèé f1(x), f2(x), f3(x), …, êîòîðàÿ ïî÷òè âî âñåõ òî÷êàõ Å ñõîäèòñÿ ê ïî÷òè âåçäå êîíå÷íîé ôóíêöèè f(x). Òîãäà, êàêîâî áû íè áûëî s>0, áóäåò

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îòìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî â ñèëó òåîðåìû 3, ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f(x) òàêæå èçìåðèìà è, ñòàëî áûòü, èçìåðèìû òå ìíîæåñòâà, î êîòîðûõ èäåò ðå÷ü.

Ïîëîæèì

À = Å(|f| = + ¥),     An = E(|fn| =  + ¥),      B = E (fn íå ® f)

.

Î÷åâèäíî,

MQ = 0                                                (1)

Ïóñòü, äàëåå,

,    ,     .

Âñå ýòè ìíîæåñòâà èçìåðèìû.

Òàê êàê R1(s)ÉR2(s)ÉR3(s)É…, òî, â ñèëó òåîðåìû 12, ïðè n ®¥ áóäåò

mRn(s)®mM.                              (2)

Óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî

MÌQ.                                            (3)

 ñàìîì äåëå, åñëè , òî , ïðè÷åì âñå ÷èñëà f1(x0), f2(x0), … è èõ ïðåäåë f (x0) – êîíå÷íû. Çíà÷èò íàéäåòñÿ òàêîå n, ÷òî äëÿ k ³ n áóäåò |fk(x0) – f(x0) <  s.

Èíà÷å ãîâîðÿ  (k ³ n), à ïîòîìó è òåì áîëåå , îòêóäà è ñëåäóåò (3).

Íî òîãäà, â ñèëó (1), nM=0, è (2) ïðèíèìàåò âèä

                                (4)

Ýòèì è äîêàçàíà òåîðåìà, èáî Ån(s) Ì Rn(s).

Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì, ÷òî íàìè óñòàíîâëåí ðåçóëüòàò (4), áîëåå ñèëüíûé, ÷åì òî, ÷òî ìû õîòåëè äîêàçàòü. Íèæå ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Ä.Ô. Åãîðîâà, íàì ïðèäåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ èìåííî ýòèì áîëåå ñèëüíûì ðåçóëüòàòîì.

Äîêàçàííàÿ òåîðåìà äàåò ïîâîä óñòàíîâèòü ñëåäóþùåå

Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå Å çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ è ïî÷òè âåçäå êîíå÷íûõ ôóíêöèé

f1(x), f2(x), f3(x), …

è èçìåðèìàÿ è ïî÷òè âåçäå êîíå÷íàÿ ôóíêöèÿ f(x). Åñëè, êàêîâî áû íè áûëî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî s, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî

,

òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (*) ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x) ïî ìåðå.

Ìû áóäåì, ñëåäóÿ Ã.Ì.Ôèõòåíãîëüöó, îáîçíà÷àòü ñõîäèìîñòü ïî ìåðå ñèìâîëîì

fn(x) Þ f(x).

Ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòè ïî ìåðå ìîæíî ôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó Ëåáåðãà òàê.

  Òåîðåìà 1*. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ñõîäèòñÿ ïî÷òè âåçäå, òî îíà ñõîäèòñÿ è ïî ìåðå ê òîé æå ïðåäåëüíîé ôóíêöèè.

  Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòà òåîðåìà íåîáðàòèìà.

  Ï ð è ì å ð .  Îïðåäåëèì íà ïîëóñåãìåíòå [0, 1) äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî k ãðóïïó èç k ôóíêöèé: f1(k) (x), f2(k) (x), …, fk(k) (x), ïîëàãàÿ

 ÷àñòíîñòè, f1(1) (x) º 1 íà [0, 1). Íóìåðóÿ âñå ïîñòðîåííûå ôóíêöèè ïîäðÿä îäíèì çíà÷êîì, ìû ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

j1 (x) = f1(1) (x),      j2 (x) = f1(2) (x),      j3 (x) = f2(2) (x),    j4 (x) = f1(3) (x), …

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé jn (x) ñõîäèòñÿ ïî ìåðå ê íóëþ. Â ñàìîì äåëå, åñëè jn (x) = fi(k) (x), òî ïðè ëþáîì s>0 áóäåò

è ìåðà ýòîãî ìíîæåñòâà, ðàâíàÿ 1/k, ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ âîçðàñòàíèåì n.

Âìåñòå ñ òåì, ñîîòíîøåíèå jn (x)®0 íå âûïîëíÿåòñÿ íè â îäíîé òî÷êå ïðîìåæóòêà [0, 1). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè òàê ÷òî fi(k) (x0) = 1. Èíà÷å ãîâîðÿ, êàê äàëåêî ìû íå ïðîäâèíåìñÿ âäîëü ðÿäà ÷èñåë j1 (x0), j2 (x0), j3 (x0), …, ìû âñåãäà áóäåì âñòðå÷àòü â ýòîì ðÿäó ÷èñëà, ðàâíûå 1, ÷òî è äîêàçûâàåò íàøå óòâåðæäåíèå.

Òàêèì îáðàçîì, ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè ïî ìåðå åñòü ïîíÿòèå, ñóùåñòâåííî áîëåå îáùåå, ÷åì ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè ïî÷òè âåçäå è òåì áîëåå, ÷åì ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè âåçäå.

Åñòåñòâåííî ñïðîñèòü, â êàêîé ñòåïåíè ñîîòíîøåíèå

fn(x) Þ f(x)

îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ f(x), ò.å. åäèíñòâåííà ëè ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ïðè ñõîäèìîñòè ïî ìåðå.

Òåîðåìû 2 è 3 ïîçâîëÿþò îòâåòü íà ýòîò âîïðîñ.

Òåîðåìà 2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé fn(x) ñõîäèòñÿ ïî ìåðå ê ôóíêöèè f(x), òî ýòà æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ïî ìåðå êî âñÿêîé ôóíêöèè g(x), ýêâèâàëåíòíîé ôóíêöèè f(x).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðè ëþáîì s > 0 áóäåò

E( êfn – g ê ³ s  ) Ì E( f ¹ g) + E( çfn  - f ç ³ s),

îòêóäà (ïîñêîëüêó mE (f ¹ g) = 0)

mE (êfn – g ê³ s) £ mE(çfn – f ç³ s),

÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.

Òåîðåìà 3. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé fn(x) ñõîäèòñÿ ïî ìåðå ê äâóì ôóíêöèÿì f(x) è g(x), òî ýòè ïðåäåëüíûå ôóíêöèè ýêâèâàëåíòíû.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè s > 0 áóäåò

              (*)

èáî òî÷êà, íå âõîäÿùàÿ â ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ, è ïîäàâíî íå ìîæåò âõîäèòü è â ëåâóþ ÷àñòü. Íî ñîîòíîøåíèÿ

fn Þ f, fn Þ g

ïîêàçûâàþò, ÷òî ìåðà ïðàâîé ÷àñòè (*) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ âîçðàñòàíèåì n, îòêóäà ÿñíî, ÷òî mE (êfn – g ê³ s) = 0.

Íî òàê êàê

òî f ~g, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Òåîðåìû 2 è 3 ïîêàçûâàþò, ÷òî, æåëàÿ âîññòàíîâèòü ñâîéñòâî åäèíñòâåííîé ïðåäåëüíîé ôóíêöèè äëÿ ñõîäèìîñòè ïî ìåðå, ìû äîëæíû áûëè áû óñëîâèòüñÿ ñ÷èòàòü ýêâèâàëåíòíûå ôóíêöèè çà òîæäåñòâåííûå. Ýòî îáû÷íî è äåëàåòñÿ â ìåòðè÷åñêèõ âîïðîñàõ òåîðèè ôóíêöèé, ò.å. â òåõ âîïðîñàõ, ãäå âñå ñâîéñòâà ôóíêöèé èçó÷àþòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåðû ìíîæåñòâ, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ îáëàäàåò èëè íå îáëàäàåò òåì èëè äðóãèì ñâîéñòâîì.  èíòåãðàëüíîì èñ÷èñëåíèè ìû íàäåì ìíîãî ïðèìåðîâ ïîäîáíîãî ïîäõîäà ê âåùàì.

Õîòÿ ñõîäèìîñòü ïî ìåðå îáùåå ñõîäèìîñòè ïî÷òè âåçäå, èìååò ìåñòî âñå æå ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.

Òåîðåìà 4 (Ô.Ðèññ). Ïóñòü {fn(x)} ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé, êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ ïî ìåðå ê ôóíêöèè f(x).  òàêîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü

fn1(x), fn2(x), fn3(x), ...    (n1<n2<n3<...),

ñõîäÿùàÿñÿ ê ôóíêöèè f(x) ïî÷òè âåçäå.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë s1>s2>s3>¼, äëÿ êîòîðîé lim sk=0.

Ïóñòü, äàëåå, h1+h2+h3+¼ (hk>0) åñòü ñõîäÿùèéñÿ ïîëîæèòåëüíûé ðÿä.

Òåïåðü ìû ìîæåì ïîñòðîèòü òðåáóåìóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåêñîâ

n1 < n2 < n3 < ...                                    (*)

ñëåäóþùèì îáðàçîì: îáîçíà÷èì ÷åðåç n1 íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî

mE(½fn1-f½³s1)<h1.

Òàêîå ÷èñëî îáÿçàòåëüíî ñóùåñòâóåò, èáî

mE(½fn-f½³s1)®0      ïðè n®¥.

Çàòåì ÷åðåç n2 îáîçíà÷èì òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî

mE(½fn2-f½³s2)h2,      n2>n1.

Âîîáùå ÷åðåç nk ìû îáîçíà÷àåì òàêîå ÷èñëî, ÷òî

mE(½fnk-f½³sk)< hk, nk>nk-1.

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (*), òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíà.

Òåïåðü óñòàíîâèì, ÷òî ïî÷òè âåçäå íà ìíîæåñòâå E áóäåò

          (**)

Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü

,     .

Òàê êàê R1ÉR2ÉR3É..., òî (òåîðåìà 12)

mRi®mQ

C äðóãîé ñòîðîíû, î÷åâèäíî, ÷òî òàê ÷òî mRi®0 è, ñòàëî áûòü, mQ=0.

Îñòàåòñÿ  ïðîâåðèòü, ÷òî ñîîòíîøåíèå (**) èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ x èç ìíîæåñòâà E - Q.

Ïóñòü x0 Î E - Q. Òîãäà x0 Rio. Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðè k ³ i0

x0E(|fnk-f|³sk),

è, ñëåäîâàòåëüíî,

|fnk(x0) – f(x0)|<sk,        (k ³ i0)

è, ïîñêîëüêó sk®0, ÿñíî, ÷òî fnk(x0) ®f(x0).

Òåîðåìà äîêàçàíà.

Òåîðåìà Ëåáåãà äàëà ïîâîä ê óñòàíîâëåíèþ ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòè ïî ìåðå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñ ïîìîùüþ ýòîé æå òåîðåìû ìîæíî óñòàíîâèòü âåñüìà âàæíóþ òåîðåìó Ä.Ô.Åãîðîâà.

Òåîðåìà 5 (Ä.Ô.Åãîðîâ). Ïóñòü íà èçìåðèìîì ìíîæåñòâå Å çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èçìåðèìûõ è ïî÷òè âåçäå êîíå÷íûõ ôóíêöèé f1(x), f2(x), f3(x), …, ïî÷òè âåçäå ñõîäÿùàÿñÿ ê èçìåðèìîé è ïî÷òè âåçäå êîíå÷íîé ôóíêöèè f (x):                

 òàêîì ñëó÷àå, äëÿ ëþáîãî d>0 ñóùåñòâóåò òàêîå èçìåðèìîå ìíîæåñòâî ÅdÅ, ÷òî:

1)   mEs >mE - d;

2) íà ìíîæåñòâå Ed ñòðåìëåíèå(*) ïðîèñõîäèò ðàâíîìåðíî.

     Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Ëåáåãà áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè ëþáîì s >0 áóäåò

                        (1)

ãäå .

Çàìåòèâ ýòî, âîçüìåì ñõîäÿùèéñÿ ïîëîæèòåëüíûé ðÿä

h1+h2+h3+...        (hi>0)

è ñòðåìÿùóþñÿ ê íóëþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë

s1>s2>s3>…,        lim si=0.

 ñèëó (1), ìîæíî êàæäîìó íàòóðàëüíîìó i ñîîòíåñòè òàêîå íàòóðàëüíîå ni, ÷òî mRni(si)< hi.

Ñäåëàâ ýòî, íàéäåì òàêîå i0, ÷òî (ãäå d ÷èñëî, ôèãóðèðóþùåå â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû), è ïîëîæèì .

Î÷åâèäíî,

me<d.

Ïóñòü Åd = Å – å. Óñòàíîâèì, ÷òî ìíîæåñòâî Åd òðåáóåìîå. Íåðàâåíñòâî mEd > mE - d ÿñíî, òàê ÷òî îñòàåòñÿ óáåäèòüñÿ â ðàâíîìåðíîñòè ñòðåìëåíèÿ

fn(x)®f(x)

íà ìíîæåñòâå Åd.

Ïóñòü e > 0. Íàéäåì i òàêîå, ÷òî i ³ i0, si < e, è ïîêàæåì, ÷òî ïðè k ³ ni è ïðè âñåõ x Î Åd áóäåò

|fk(x) – f(x)| < e,

îòêóäà è áóäåò ñëåäîâàòü òåîðåìà.

Åñëè x Î Åd , òî õe. Çíà÷èò â ÷àñòíîñòè, xRni(si).

Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðè k ³ ni

x ÎE(|fk – f|³ si),

òàê ÷òî

|fk(x) – f(x)| <si            (k ³ ni)

è òåì áîëåå

|fk(x) – f(x)| < e            (k ³ ni).

Òåîðåìà äîêàçàíà, èáî ni çàâèñèò òîëüêî îò e, íî íå îò x.

Ñòðóêòóðà èçìåðèìûõ ôóíêöèé

 

Ïðè èçó÷åíèè êàêîé-íèáóäü ôóíêöèè ñàì ñîáîþ âñòàåò âîïðîñ î òî÷íîì èëè ïðèáëèæåííîì ïðåäñòàâëåíèè åå ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé áîëåå ïðîñòîé ïðèðîäû.

Òàêîâû, íàïðèìåð, àëãåáðàè÷åñêèå âîïðîñû î ðàçëîæåíèè ìíîãî÷ëåíà íà ìíîæèòåëè èëè ðàöèîíàëüíûå äðîáè íà ïðîñòåéøèå. Òàêîâ æå âîïðîñ î ðàçëîæåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè â ñòåïåííîé èëè òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä è ò.ï.

 ýòîé ÷àñòè ìû óñòàíàâëèâàåì ðàçëè÷íûå òåîðåìû î ïðèáëèæåíèè  èçìåðèìûõ ôóíêöèé ôóíêöèÿìè íåïðåðûâíûìè, ò.å. ðåøàåì ñõîäíûé âîïðîñ äëÿ èçìåðèìûõ ôóíêöèé. Ýòè òåîðåìû ïîçâîëÿþò íàì íàéòè îñíîâíîå ñòðóêòóðíîå ñâîéñòâî èçìåðèìîé ôóíêöèè âûðàæàåìîé òåîðåìîé 4.

Òåîðåìà 1. Ïóñòü íà ìíîæåñòâå Å çàäàíà èçìåðèìàÿ, ïî÷òè âåçäå êîíå÷íàÿ ôóíêöèÿ f(x). Êàêîâî áû íè áûëî e > 0, ñóùåñòâóåò èçìåðèìàÿ îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ g(x), òàêàÿ, ÷òî mE(f¹g)< e.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîëîæèì

Àk = E(|f|>k),      Q = E(|f| = + ¥).

Ïî óñëîâèþ, mQ = 0. Ââèäó î÷åâèäíûõ ñîîòíîøåíèé

À1 É À2 É À3 É …,             

áóäåò (òåîðåìà 12) ïðè k®¥

mAk®mQ = 0.

Çíà÷èò, íàéäåòñÿ òàêîå k0, ÷òî mAk0<e.

Îïðåäåëèì íà ìíîæåñòâå E ôóíêöèþ g(x), ïîëàãàÿ

    

 

Ýòà ôóíêöèÿ èçìåðèìà è, êðîìå òîãî, îãðàíè÷åíà,  ïîñêîëüêó  g (x)ê k0. Íàêîíåö, E(f ¹ g) = Ako, ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.

Äîêàçàííàÿ òåîðåìà îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêàÿ èçìåðèìàÿ è ïî÷òè âåçäå êîíå÷íàÿ ôóíêöèÿ ñòàíîâèòñÿ îãðàíè÷åííîé, åñëè ïðåíåáðå÷ü ìíîæåñòâîì ñêîëü óãîäíî ìàëîé ìåðû.

Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü ôóíêöèÿ F(x) çàäàíà íà ìíîæåñòâå E è x0ÎE, ïðè÷åì F(x0) ¹±¥. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ F(x) íåïðåðûâíà â òî÷êå õ0 â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1) åñëè õ0 åñòü èçîëèðîâàííàÿ òî÷êà E; 2) åñëè õ0Î E¢ è ñîîòíîøåíèÿ xn®x0, xnÎE âëåêóò ñîîòíîøåíèå

f(xn) ®f(x0).

Åñëè f(x) íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà E, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíà íåïðåðûâíà íà ýòîì ìíîæåñòâå.

Ëåììà 1. Ïóñòü ìíîæåñòâà  F1, F2, …, Fn çàìêíóòû è ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ. Åñëè ôóíêöèÿ j (õ), çàäàííàÿ íà ìíîæåñòâå

ïîñòîÿííà íà êàæäîì èç ìíîæåñòâ Fk, òî îíà íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå F.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü x0ÎF’ è xi®x0, xiÎF.

 ñèëó çàìêíóòîñòè ìíîæåñòâà F òî÷êà x0 ïðèíàäëåæèò ýòîìó ìíîæåñòâó è, ñòàëî áûòü, íàéäåòñÿ òàêîå m, ÷òî x0ÎFm.

Íî ìíîæåñòâà Fk ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ. Çíà÷èò, åñëè k¹m, òî õ0Fk è, â ñèëó çàìêíóòîñòè ìíîæåñòâà Fk, òî÷êà x0 íå ÿâëÿåòñÿ è ïðåäåëüíîé òî÷êîé ýòîãî ìíîæåñòâà.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xi} ìîæåò áûòü òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó Fk ïðè k¹m. Îòìåòèì âñå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðûå âõîäÿò â îäíî èç ìíîæåñòâ F1, …, Fm-1, Fm+1, …, Fn, è ïóñòü xi0, ïîñëåäíèé èç íèõ. Òîãäà ïðè i > i0 íåîáõîäèìî áóäåò x1ÎFm, ò.å. ïðè i > i0 îêàçûâàåòñÿ j (xi) = j (x0), à ýòî äîêàçûâàåò ëåììó.

Ëåììà 2. Ïóñòü F åñòü çàìêíóòîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùååñÿ â ñåãìåíòå [a, b]. Åñëè ôóíêöèÿ j(x) çàäàíà è íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå F, òî ìîæíî îïðåäåëèòü íà [a, b] ôóíêöèþ y(x) ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè

1)   y(x) íåïðåðûâíà;

2)   åñëè xÎF, òî y(x)= j(x);

3)   max |y(x)| = max |j(x)|.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì ÷åðåç [a, b] íàèìåíüøèé ñåãìåíò, ñîäåðæàùèé ìíîæåñòâî F. Åñëè áû òðåáóåìàÿ ôóíêöèÿ y(x) áûëà óæå ïîñòðîåíà íà ñåãìåíòå [a, b], òî äîñòàòî÷íî áûëî áû äîïîëíèòü åå îïðåäåëåíèå, ïîëàãàÿ 

÷òîáû  ïîëó÷èòü òðåáóåìóþ ôóíêöèþ óæå íà âñåì  ñåãìåíòå [a, b].

Ïîýòîìó, íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü ÷òî [a, b] è åñòü  íàèìåíüøèé ñåãìåíò, ñîäåðæàùèé ìíîæåñòâî F.

Åñëè F = [a, b], òî òåîðåìà òðèâèàëüíà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî F ¹ [a, b]. Òîãäà ìíîæåñòâî [a, b] – F ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî èëè ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà âçàèìíî íå íàëåãàþùèõ èíòåðâàëîâ, êîíöû êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò F (äîïîëíèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ ìíîæåñòâà F).

Çàäàäèì ôóíêöèþ y(x), ïîëàãàÿ åå ðàâíîé j(x) â òî÷êàõ ìíîæåñòâà F è ëèíåéíîé íà âñåõ äîïîëíèòåëüíûõ èíòåðâàëàõ.

Óáåäèìñÿ â  íåïðåðûâíîñòè ýòîé ôóíêöèè. Íåïðåðûâíîñòü  åå â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà [a, b] – F î÷åâèäíà.

Ïóñòü õ0 åñòü òî÷êà ìíîæåñòâà F . Ìû ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ  y(x) íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå ñëåâà (íåïðåðûâíîñòü ñïðàâà óñòàíàâëèâàåòñÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî).

Åñëè òî÷êà õ0 ñëóæèò ïðàâûì êîíöîì êàêîãî-íèáóäü äîïîëíèòåëüíîãî èíòåðâàëà, òî íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè y(x) â ýòîé òî÷êå ñëåâà î÷åâèäíà.

Ïóñòü æå x0 íå ÿâëÿåòñÿ ïðàâûì êîíöîì íèêàêîãî äîïîëíèòåëüíîãî èíòåðâàëà è ïóñòü x1< x2< x3<… ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê, ñòðåìÿùèõñÿ ê x0.

Åñëè xnÎF (n = 1, 2, 3, …) òî, èñïîëüçóÿ íåïðåðûâíîñòü íà ìíîæåñòâå F ôóíêöèè j(x), èìååì y(xn) = j(xn) ® j(x0) =y(x0). Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî õnF (n = 1, 2, 3, …).

 òàêîì ñëó÷àå òî÷êà x1 ïîïàäàåò â êàêîé-òî äîïîëíèòåëüíûé èíòåðâàë (l1, m1), ïðè÷åì m10. Ïðîäîëæàÿ ýòî ðàññóæäåíèå, ìû ïðèõîäèì ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (l1, m1), (l2, m2), (l3, m3), … äîïîëíèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ, ðàñïîëîæåííûõ â ïîðÿäêå íîìåðîâ ñëåâà íàïðàâî è òàêèõ, ÷òî

XkÎ(l1, m1)  (k = ni-1+1, …, ni).

Ñîîòíîøåíèå xni<mi<x0 ïîêàçûâàåò, ÷òî mi, à èç òîãî, ÷òî mi-1£li< x0, ÿñíî, ÷òî è li  ®x0.

Íî li è mi âõîäÿò â F, òàê ÷òî

lim  y(li) = lim y(mi) = y( x0).

Ââèäó òîãî, ÷òî çíà÷åíèÿ ëèíåéíîé ôóíêöèè â êàêîì-íèáóäü èíòåðâàëå ëåæàò ìåæäó åå çíà÷åíèÿìè íà êîíöàõ ýòîãî èíòåðâàëà, ÿñíî, ÷òî è limy(xn)=y(x0).

Èòàê, íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè y(x) äîêàçàíà.

Èç ñàìîãî åå ïîñòðîåíèÿ âèäíî, ÷òî îíà ñîâïàäàåò ñ j(x) íà ìíîæåñòâå F.

Íàêîíåö ïî èçâåñòíîé òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, ñðåäè çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå ôóíêöèè |y(x)| åñòü íàèáîëüøåå – max |y(x)|. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòîò ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ èìåííî â òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåé ìíîæåñòâó F, èáî íà äîïîëíèòåëüíûõ èíòåðâàëàõ ôóíêöèÿ y(x) ëèíåéíà. Ïîýòîìó max |y(x)| = max |j(x)|.

Ëåììà äîêàçàíà ïîëíîñòüþ.

Òåîðåìà 2 (Ý. Áîðåëü). Ïóñòü íà ñåãìåíòå [a, b] çàäàíà èçìåðèìàÿ è ïî÷òè âåçäå êîíå÷íàÿ ôóíêöèÿ f(x). Êàêîâû áû íè áûëè ÷èñëà s >0 è e >0 ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ íà [a, b] ôóíêöèÿ y(x), äëÿ êîòîðîé

mE(|f-y| ³ s) <e

Åñëè ïðè ýòîì |f(x)| £ K, òî ìîæíî è y(x) âûáðàòü òàê, ÷òî |y(x)| £ K.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî |f(x)| £ K, ò.å. ÷òî ôóíêöèÿ f(x) îãðàíè÷åíà.

Ôèêñèðóÿ ïðîèçâîëüíûå s >0 è e >0, íàéäåì ñòîëü áîëüøîå íàòóðàëüíîå m, ÷òî K/m<s, è ïîñòðîèì ìíîæåñòâà

               (i = 1 – m, 2 – m, …, m – 1)

Ýòè ìíîæåñòâà èçìåðèìû, ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è

Ïîñòðîèì äëÿ êàæäîãî i çàìêíóòîå ìíîæåñòâî Fi Ì Ei ñ ìåðîé è ïîëîæèì .

ßñíî, ÷òî , îòêóäà m[a, b] – mF<e.

Çàäàäèì òåïåðü íà ìíîæåñòâå F ôóíêöèþ j(x), ïîëàãàÿ

      ïðè       xÎFi     (i = 1 – m, …, m).

 ñèëó ëåììû 1 ýòà ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå F, |j(x)| £ K è, íàêîíåö, ïðè xÎF áóäåò |f(x) - j(x)| < s.

Îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü ëåììó 2. Ýòî ïðèâîäèò ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè y(x), ñîâïàäàþùåé íà ìíîæåñòâå F ñ ôóíêöèåé j(x), ïðè÷åì |j(x)|³K. Ïîñêîëüêó E ( | f - y | ³ s ) Ì [a , b] – F , ÿñíî, ÷òî ôóíêöèÿ  y(x) òðåáóåìàÿ.

Èòàê, äëÿ îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè òåîðåìà äîêàçàíà.

Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî f (x) íå îãðàíè÷åíà. Òîãäà, ïîëüçóÿñü òåîðåìîé 1, ìîæíî ïîñòðîèòü òàêóþ îãðàíè÷åííóþ ôóíêöèþ g(x), ÷òî mE (f ¹ g) < e/2.

Ïðèìåíÿÿ óæå äîêàçàííóþ ÷àñòü òåîðåìû ê ôóíêöèè g(x), ìû íàéäåì òàêóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ y(x), ÷òî

Íî ëåãêî âèäåòü, ÷òî

E (|f-y| ³ s) Ì E (f ¹ g) + E (|g-y| ³ s),

Òàê ÷òî ôóíêöèÿ y(x) ðåøàåò çàäà÷ó.

Ñëåäñòâèå. Äëÿ âñÿêîé èçìåðèìîé è ïî÷òè âåçäå êîíå÷íîé ôóíêöèè f(x), çàäàííîé íà ñåãìåíòå [a, b], ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé yn(x), ñõîäÿùàÿñÿ ïî ìåðå ê ôóíêöèè f(x).

 ñàìîì äåëå, âçÿâ äâå ñòðåìÿùèåñÿ ê íóëþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

s1>s2>s3>…,               sn®0,

e1>e2>e3>…,                 en®0,

ïîñòðîèì äëÿ êàæäîãî n òàêóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ yn(x), ÷òî

mE(|f-yn|³sn)< en

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî yn(x) Þ f(x).

Äåéñòâèòåëüíî, êàêîå áû s > 0 íè âçÿòü, äëÿ n ³ n0 áóäåò sn<s, à äëÿ òàêèõ n

îòêóäà è ñëåäóåò íàøå óòâåðæäåíèå.

Ïðèìåíèâ ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {yn(x)} òåîðåìó Ô. Ðèññà ìû ïðèõîäèì ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé {ynk(x)}, êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f(x) ïî÷òè âåçäå.

Èíà÷å ãîâîðÿ óñòàíîâëåíà

Òåîðåìà 3 (Ì.Ôðåøå). Äëÿ âñÿêîé èçìåðèìîé è ïî÷òè âåçäå êîíå÷íîé ôóíêöèè f(x), çàäàííîé íà ñåãìåíòå [a, b], ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, ñõîäÿùàÿñÿ ê f(x) ïî÷òè âåçäå.

Ñ ïîìîùüþ ýòîé òåîðåìû ëåãêî óñòàíàâëèâàåòñÿ âåñüìà çàìå÷àòåëüíàÿ è âàæíàÿ

Òåîðåìà 4 (Í. Í. Ëóçèí). Ïóñòü f(x) èçìåðèìàÿ è ïî÷òè âåçäå êîíå÷íàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà [a, b]. Êàêîâî áû íè áûëî d > 0, ñóùåñòâóåò òàêàÿ íåïðåðûâíà ôóíêöèÿ j(x), ÷òî

mE(f ¹ j) < d

Åñëè, â ÷àñòíîñòè, |f(x)| £ K, òî è |j(x)| £ K.

Îïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà èçìåðèìîé ôóíêöèè Åñëè êàæäîìó x èç ìíîæåñòâà E ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå ÷èñëî f(x), òî ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íà ìíîæåñòâå E çàäàíà ôóíêöèÿ f(x). Ïðè ýòîì ìû äîïóñêàåì è áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ ô

 

 

 

Âíèìàíèå! Ïðåäñòàâëåííàÿ Êóðñîâàÿ ðàáîòà íàõîäèòñÿ â îòêðûòîì äîñòóïå â ñåòè Èíòåðíåò, è óæå íåîäíîêðàòíî ñäàâàëàñü, âîçìîæíî, äàæå â òâîåì ó÷åáíîì çàâåäåíèè.
Ñîâåòóåì íå ðèñêîâàòü. Óçíàé, ñêîëüêî ñòîèò àáñîëþòíî óíèêàëüíàÿ Êóðñîâàÿ ðàáîòà ïî òâîåé òåìå:

Íîâîñòè îáðàçîâàíèÿ è íàóêè

Çàêàçàòü óíèêàëüíóþ ðàáîòó

Ïîõîæèå ðàáîòû:

Èìèòàöèîííîå ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ
Èíâàðèàíòíîñòü ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ òðåõóçëîâîé ñåòè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ
Èíâàðèàíòíûå ïîäãðóïïû áèïðèìàðíûõ ãðóïï
Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ
Èñïîëüçîâàíèå èíôîðìàöèîííî-êîììóíèêàòèâíûõ òåõíîëîãèé ïðè èçó÷åíèè òåìû &quot;Ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè&quot; â ñðåäíåé øêîëå
Èññëåäîâàíèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè êîîïåðàöèè ðàçðàáîò÷èêîâ
Èññëåäîâàíèå êðèâûõ è ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà
Èññëåäîâàíèå ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííîé ìàòðèöåé
Èññëåäîâàíèå ïðî÷íîñòè íà ðàçðûâ ïîëîñîê ñèòöà
Èòåðàöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé

Ñâîè ñäàííûå ñòóäåí÷åñêèå ðàáîòû

ïðèñûëàéòå íàì íà e-mail

Client@Stud-Baza.ru