База знаний студента. Реферат, курсовая, контрольная, диплом на заказ

Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения

(1)

Примем x = x^j в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что x^j не является решением. Следовательно, . Предположим также, что мы получили разложение в ряд Тейлора для уравнения (1) относительно точки x = x^j:

(2)

Если примем в качестве следующего члена x = x^j+1, то уравнение (2) будет иметь вид:

(3)

Теперь предположим, что справедливо необязательное допущение того, что предыдущее приближение x^j было удовлетворительным, так что x^j+1 - x^j мало. Если это предположение верно, мы можем пренебречь членами более высокого порядка в уравнении (3), так как n-я степень малой величины значительно меньше, чем малая величина для n>=2. В этом случае уравнение (3) может быть аппроксимировано следующим образом:

(4)

Нашей целью является выбор такого x^j+1, чтобы оно стало решением уравнения (1). Следовательно, если наше предыдущее предположение справедливо, x^j+1 должно быть выбрано таким, что. Приравняв уравнение (4) к нулю и решив относительно x^j+1, получим:

(5)

Уравнение (5) называется уравнением Ньютона - Рафсона. Если наше предположение, приведшее к выводу уравнения (5), справедливо, этот алгоритм будет сходящимся, но только в том случае, если точка начального приближения достаточно близка к точке решения. Геометрическая интерпретация сходящегося метода Ньютона - Рафсона приведена на рис. 1а.

а) метод сходится	б) метод не сходится

Рис.1. Геометрическая интерпретация метода Ньютона - Рафсона

Однако, если точка начального приближения далека от точки решения, то метод Ньютона - Рафсона может не сходиться совсем. Геометрическая интерпретация не сходящегося метода Ньютона - Рафсона приведена на рис. 1б.

Алгоритм

Назначение: поиск решения уравнения (1)

Вход:

   Начальное приближение x₀

   Точность (число итераций I)

Выход:

   x_I - решение уравнения (1)

Инициализация:

   calculate f’(x₀)

Шаги:

1.     repeat:

2.            calculate x_i using (5)

3.            let i=i+1

4.            if i>I then break the cycle

       end of repeat

Модификация алгоритма Ньютона для решения системы нескольких уравнений заключается в линеаризации соответствующих функций многих переменных, т. е. аппроксимации их линейной зависимостью с помощью частных производных. Например, для нулевой итерации в случае системы двух уравнений:

Чтобы отыскать точку, соответствующую каждой новой итерации, требуется приравнять оба равенства нулю, т.е. решить на каждом шаге полученную систему линейных уравнений.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.xaoc.ru/

Метод Ньютона-Рафсона, также известный как Метод Ньютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения (1) Примем x = xj в качестве j-го приближения к корню уравнения (1). Предположим, что xj не является реш

 

• 14:21 05 Июля 2016
  Российско-китайский медуниверситет откроет магистерскую программу по TCM
• 01:21 05 Июля 2016
  На форуме МГУ Россия и Китай обсудят научно-образовательное сотрудничество
• 11:00 04 Июля 2016
  Реморенко: "ЕГЭ-туризм" в России сходит на нет
• 10:52 04 Июля 2016
  Летняя российско-австрийская школа откроется в Москве
• 15:31 01 Июля 2016
  В СПбГУ могут воссоздать географический факультет

Заказать уникальную работу