курсовые,контрольные,дипломы,рефераты
Многочленом (полиномом) от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а А²+а А+а А
Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) – нулевая, то М. А наз. корнем многочдена р(Х), а многочлен р(Х) аннулирующим многочленом от матрицы А.
Правило Сариуса знаков для 3-его порядка.
Минором наз. определитель, полученый вычёркиванием той строки и того столбца на которых стоит данный элемент.
Алг. дополнением эл. Аik наз. минор, взятый со знаком Аik=(-1) Mik .
Разложение ∆ 3-его порядка по элементам первой строки : ∆=а11А11+а12А12+а13А13 .
Матрицей обратной кв. матрице А наз. кв. матрица А¯¹ удовл. рав. А А¯¹= А¯¹ А=Е.
Кв. матрица наз. невыражденой, если её det≠0.
Теор. Всяк. невыражд. матр. А имеет невыражд. ей обр. матр.: А¯¹=A/detA.
Произвольную невыражд. матр. можно привести к еденичной (А"Е) - метод Жордано.
Нахождение обр. матр. с помащю эл. преобр. Теор. Если к ед. матрице порядка n применить те же эл. преобр.,только над строками и в том же порядке с пом. котор. невыражд. кв. матр. А приводится к ед., то полученная при этом матрица будет обратной матрице А. (А|E)"(E|A¯¹).
Ах=В уА=В
х=А¯¹В у=ВА¯¹
В матр. m*n выберем произв. S-строк, S-столб. (1≤S≤min(m,n)). Элем., стоящ. на пересечен. выбр. стр. столб. обр. матр. порядка S. Определитель этой матрицы наз. минорм порядка S матр А.
Этот определитель наз.минорм второго порядка исходн. матр. Аналог. получ. др. миноры втор. порь.,а также трет. порь., нек. из них мог. = 0.
Рангом матр. наз. наиб. из порядков её миноров,≠0.
Если все миноры =0, то ранг =0.
1. R транспонир. матр. = R исходн.
2. R М. не завис. От отсутствия или присутствия в ней нулевых строк.
3. При эл. преобр. R матр. не мен. С их пом. матр. можно привести к квазитреуголной форме,R котор. = r, т.к. её минор с гл. диог. равен произведен. и ≠0, а все миноры более высокого порядка =0, как содержащие нулевые строки.
А=(Кооф.), Х=(неизв.), В=(св. чл.), Ấ=(кооф и св. члены)
Невыражд. сист.
|a11 a12 .. b1 .. a1m|
∆=|кооф.| , ∆k=| a21 a22 .. b2 .. a2m|
|………………………………..|
| am1 am2 .. bm ..amm|
Теорема Крамера. Невыражн. лин. сит. имеет ед. решение х1=∆1/∆ , х2=∆2/∆………
Метод Гаусса-Жордано (и наобарот)
Заключ. в эл. преобраз. матр.
Коллинеарн. вект. – лежащ. на || прямых или на одой прямой.
Равные вект. – коллин. и имеющ. одинак. направление и длину.
Протиположными наз. векторы ¯ и имеющие равные длины.
Св. векторы – т. приложения котрых может быть выбрана произвольно.
Радиус-вектором т. наз. вектор т. приложения которого является нач. коорд., а конец находится в т.
Направляющими косинусами векторов наз. косинусы углов α, β, γ образованных ими с коорд. осями.
|r|=√(x²+y²+z²) x=|r|cosα y=|r|cosβ … … => cosα=x/√( x²+y²+z²)
Единичный вектор e=(cosa,cosb,cosγ)
Даны n векторов. Лин. комб. a=α1*a1+α2*a2+…+αn*an x= α1*x1+α2*x2+…+αn*xn y=…
X=(x1+ℓx2)/(1+ℓ) – в отношении ℓ.
ab=|a||b|cos(ab) Т.к. |b|cos φ=пр a b , |a|cosφ=пр b a , ab=|a|пр a b = |b|пр b a
Свойства: 1.Переместит(коммуникативности) аb=ba
2.Сочетательности(ассоциативности) относительно числ. множ. (αa)b=α(ab)
3.Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов a(b+c)=ab+ac
Правило лев. и прав. тройки В.
3 не комплан. вект. a,b,c взятых взятых в указанном порядке и приложенных к одной точке наз. тройкой векторов abc.
Будем см. с конца c на плоск. образ. вект.а и b ,если кратчайший поворот от а к b совершим против часовой стрелки то тройка наз. правой…
Векторным произведением 2-х векторов a и b наз. вектор [a*b] и удовл. след. усл.:1)|[a*b]|=|a||b|sinα ;2)[a*b]┴a и b;3)тройка a b [a*b] имеет ту же ориентацию,что и i jk.
Из усл. 1) следует что | | векторное произведение = площади параллелограмма.
[a*b]=0 < = > a комплан. b
Свойства: 1.Антиперестановочности [a*b]=-[a*b]
2.Сочетательности относительно скалярн. множ. [(αa)*b]=α[a*b]
3.Распределительности (дистрибутивности) относит. суммы векторов [(a+b)c]=[a*c]+[b*c]
|i j k |
[a*b]=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+… …
|x2 y2 z2| |y2 z2|
Даны 3 вект. a,b,c . Умножим векторно a на b и скалярно на с. В рез. получ. число, котор наз. векторно-скалярным произведением или смешаным.
V параллелипипеда=смеш. произвед. вект. и «+», если тр. abc прав.
abc=[ab]c=a[bc]
|x1 y1 …|
abc=|x2 … …| < = > abc-комплан.
|x3 … …| |x2-x1 y2-y1 … |
V 3-ох угольн. Пирамиды=mod|x3-x1 … … |
|x4-x1 … … |
a1,a2,…an – наз. лин. завис. векторов, если сущ. α1,α2 …αn, таких что: α1*a1+α2*a2+…+αn*an=0
Теорема 1. a1,a2,…,an, n>1 лин зависима < = > по меньшей мере, один из них явл. лин. комб. остальных.
Теорема 2. а и b лин. завис < = > они коллин.
Теорема 3. Если е1 и е2 – не колинеарные векторы нек. плоск., то любой третий вектор а, принадлежащий той же плоскости ед. образом раскл. по ним а=х*е1+у*е2.
Теорема 4. a,b,c – лин. завис. < = > они коллинеарны.
Теорема 5. Если е1,е2,е3 не комплан., то любой любой а можно ед. обр. разложить по ним а=α1*е1+α2*е2+α3*е3
Теорема 6. Всяк. 4-е вектора лин. завис.
Базис – любая упорядоченая система 3-ох лин. независ.,т.е. не компланарных векторов d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) в базисе е1е2е3
F(x,y)=0 – ур-е линии в общем виде
F(ρ,φ)=0 – … в полярных координатах. Если это уравнение разрешимо относительно ρ, то ρ= ρ(φ).
x=f(t)
y= φ (t) / - параметрические уравнения линии.
Если дан. линии заданы ур-ем ρ= ρ(φ), параметрически ур-я записываются x= ρ(φ)*cos φ y= ρ(φ)*sin φ
Упрощ. ур-е второй степени не содержащее члена с произведением координат Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 (1)
Перейдём к нов. сист. коорд. оху путём параллельного переноса.
Ур-е (1) путём выделения полных квадратов преведено к одному из следующих канонических уравнений:
х²/a²+y²/b²=1 – эллипс – геом. место точек плоскости, для котор. сумма раст. до двух данных т. (фокусов) =const,F1(-c,0), F2(c,0),c=√(a²+b²)
Эпсиктриситетом эл. наз. ξ=√(1-(b/a)²) Директрисами эл. наз. прямые x=a/ξ и x=--a/ξ
х²/a²+y²/b²=0 – удовл. коорд. ед. т. (0,0)
х²/a²+y²/b²=-1 – неудовл. коорд. ни одной т.
в сл. А*С>0 линии элипсического типа
х²/a² -- y²/b²=1 или --х²/a² + y²/b²=1 – гиперболы – геом. место т. плоскости для которых | | разности расстояний до двух данных т.(фокусов)=const
F1(-c,0), F2(c,0), c=√(a²+b²) , ξ=c/a, Ассимптоты : у=х*b/a и y=-- х*b/a , Директрисы : x=-a/ξ и x=a/ξ |
Равносторонние Г. – с равными полуосями. /
х²/a² -- y²/b²=0 – пара пересекающихся прямых / - линии гиперболического типа
у²=2px – парабола - геом. место т. плоскости равноудалённых от фокуса и директрисы
Симметрин. относит. ох : у²=2px , Директриса x=-p/2 ,F(p/2,0) , r=x+p/2 |
oy : x²=2qy , Директриса y=-q/2 ,F(0,q/2) , r=y+q/2 |
y²=b² - пара || прямых > - линии параболического типа
y²=0 – пара совпавших прямых /
y²=--b² - неудовл. коорд. ни одной т.
Прямая на плоскости. Общий вид: х=а или y=b
k=(y2-y1)/(x2-x1) , где х1,у1,…,… -координаты двух любых т. плоскости. | tg(угла м/у 2-я ∩ прямыми)=(k2-k1)/(1+k1k2)
Уравнение касательной: y-y0=k(x-x0) | Если прямые заданы общими уравнениями (Ах+Ву+С=0):
Ур-е нормали : y-y0=-1/k*(x-x0) | tg(угла м/у 2-я ∩ прямыми)=(A1*B2-A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)
Ур-е прямой (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) , (x2≠x1,y2≠y1) | || < = >A1/A2=B1/B2 , ┴ A1/B1=--B2/A2
Ур-е прямой в отрезках x=x1+(x2—x1)*t y=y1=(y2—y1)*t , t € R
Расстояние от т. М0(х0,у0) до прямой Ах+Ву+С=0 : d=(A*x0+B*y0+C)/√(A²+B²)
Ур-е окружности : (x-a)²+(y-b)²=R²
Упрощ. общее ур-е второй степени: Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0
При повароте коорд осей на α для которого ctg2α=(A— C)/2B
x=x’ cos α –y’ sin α
y=x’ sin α +x’ cos α
Предел ф-ии. Постоянная b наз. lim y=f(x) при x→a , если для любого ξ>0 сущ. δ>0, что при всех x удовл. усл. 0<|x-a|< δ, выполняется условие |f(x)-b|<ξ
Многочленом (полиномом) от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а А²+а А+а А Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) – нулевая, то М. А наз. корнем многочдена р(Х), а многочлен р(Х) аннулирующим многочленом от матрицы А.
Шпаргалки по ВЫШКЕ
Формулы по тригонометрии (шпаргалка)
Шпаргалка по геометрии и алгебре
Шпаргалки по математическому анализу для 1-го семестра в МАИ
Высшая математика (шпаргалка)
Шпаргалки по высшей математике
Математика. Интегралы
Ответы для програмированного контроля по начертательной геометрии...
Формулы по математике (11 кл.)
Шпаргалки по высшей математике (1 курс)
Copyright (c) 2024 Stud-Baza.ru Рефераты, контрольные, курсовые, дипломные работы.